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微分方程y'+1/xy'=x的通解

第一步:(1) 令y'=p, 则y''=p' , 原来的二阶微分方程xy”=y'-x(y')^2就可以化为以p为函数的一阶微分方程(是n=2的伯努利方程): xp'=p-xp^2 (2) 求解n=2的伯努利方程xp'=p-xp^2: 令z=1/p,则 z'=-1/(p^2)*p', 因此xz'=-1/(p^2)*(p-xp^2)=-1/p

方程化为:(xy')'=x 积分:xy'=x/3+c1 即y'=x/3+c1/x 再积分:y=x/9+c1ln|x|+c2

y'-xy=x,y'=x+xy=x(y+1),dy/(y+1)=xdx,两边积分ln|y+1|=ln|c|+x/2,y+1=ce^(x/2),y=-1+ce^(x/2).

一阶线性微分方程,得 y = e^(-∫dx/x) [∫(x+1)e^(∫dx/x)dx + C]= (1/x) [∫(x+1)xdx + C]= (1/x)(x^3/3+x^2/2+C)= (1/3)x^2+x/2 + C/x

dy/dx=xy+x+y+1 dy/dx=(x+1)(y+1) 分离变量 dy/(y+1)=dx*(x+1) 两边积分 ln(y+1)=(x/2)+x+lnC 两边取以e为底的幂 y+1=Ce^[(x/2)+x] y=Ce^[(x/2)+x]-1就是原微分方程的通解.

1.y'=x+1的通解为:y=x/2 + x + C. 2.y"-9y=0的特征方程为r-9=0→r=±3 y"-9y=0的通解为:y=C1 * e^(-3x) + C2 * e^(3x).

解:∵y'=xy ==>dy/y=xdx==>ln│y│=x^2/2+ln│C│ (C是常数)==>y=Ce^(x^2/2)∴y=Ce^(x^2/2)是原方程的解显然y=0也是原方程的解,但它包含于y=Ce^(x^2/2)故原方程的通解是y=Ce^(x^2/2).

y'=x/y 即2yy'=2x 即d(y^2)=d(x^2) 积分得:y^2=x^2+a 开方得:y=±√(x^2+a) 其中a为积分常数.

dy/dx=-y/x+e^x 对应齐次方程dy/dx=-y/x dy/y=-dx/x lny=-lnx+c0 得xy=c 使用常数变易法,设y=u/x dy/dx=(u'x-u)/x^2 得u'/x^2=e^x 积分得u=(x^2-2x+2)e^x+c 所以方程通解为xy=(x^2-2x+2)e^x+c

你的意思应该是 y' -y/x=x吧?对应齐次方程y'-y/x=0,显然得到y=cx 显然特解设为y*=ax^3 代入得到3ax -ax=x,即a=1/2 于是通解为y=cx +1/2 x^3,c为常数

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